Contoh Soal Barisan Deret Aritmatika dan Pembahasan Terbaru

Kali ini kita akan membahas materi serta beberapa contoh soal barisan dan deret aritmatika dimana sudah dilengkapi dengan jawabanya serta langkah langkah cepat dalam menyelesaikan soal yang tentu saja bisa kalian jadikan refrensi dalam belajar nanti.

Terkadang yang menjadi kesulitan adalah ketika masuk pada pertanyaan suku ke-n padahal ini harus kalian kuasai sehingga lebih mudah beranjak ke materi lainya nantintinya.

Nah selain memberikan latihan soal yang terbaru akan kami berikan juga kepada kalian sedikit ulasan singkat dari pengertian kemudian rumus rumus dan sampai pada soal soal terbaru yang bisa kalian kerjakan dan jadikan bahan belajar di rumah nantinya.

Barisan dan Deret Aritmatika


Setelah diuraikan dalam penjelasan selanjutnya, diharapkan kita mengerti seperti apa barisan atau deret serta perbedaannya dan juga mengetahui maksud dari barisan dan deret aritmatika. Disamping itu kita dapat memahami yang mana dinamakan suku dan nilai beda.

Apa itu Barisan ?

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.  Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

  • 1, 2, 3, 4, 5,6,7  (Bilangan 1 adalah suku pertama, bilangan 2 adalah suku kedua dst)
  • 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 adalah suku ketiga, bilangan 17 adalah suku keenam).
  • 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 adalah suku kedua, bilangan 10 adalah suku ketiga dst).
Sehingga jelas bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki pola tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un
maka : U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.

Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + .Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + .Un

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya adalah konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita dapat menulis barisan aritmatika tersebut : 

{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }


dimana:

  • a adalah suku pertama, 
  • b adalah nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :
Un = a + (n - 1)b
dimana : 

  • Un: suku ke-n 
  • a: suku pertama 
  • b: nilai beda 
  • n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = Un-U(n-1)
dimana : 

  • b adalah nilai beda
  • Un: suku ke-n 

3. Untuk mencari Suku Tengah 
Kita dapat mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka digunakan rumus :

Ut = a + Un2
dimana : 

  • Ut adalah suku tengah
  • a adalah suku pertama
  • Un adalah suku ke-n (dalam hal ini bertindak sebagai suku terakhir)

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya: 

Ut = a + (n-1)b2 dimana : 
  • Ut adalah suku tengah
  • a adalah suku pertama
  • n menyatakan banyaknya suku
  • b menyatakan nilai beda


Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).
Contoh :
  • 2 + 4 + 6 + 8 + 10
  • 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:

Sn = n2 (a+Un)
atau
Sn = n2 (2a + (n-1)b) dimana : 

  • Sn menyatakan jumlah suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • Un menyatakan nilai suku ke-n
  • b menyatakan nilai beda
  • n menyatakan banyaknya suku


Latihan Soal Barisan Deret Aritmatika


Soal No.1

Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya adalah 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Pembahasan

a = 4
Un = 20
Uta + Un2 = 20 + 42= 12
Jawab : a 


Soal No.2


Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya adalah 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Pembahasan:

a = 2
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b2 Ut= a + (n-1)b2 = 2 + (7-1)22 = 8

Jawab : b 

Soal No.3

Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, .........Un. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut: 
a. Un = 3n -1
a. Un = 3n -2
c. Un = 3n + 1
d. Un = 3n + 3

Pembahasan:

a = 2
b = 3
Un= a + (n-1)b
Un= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1

Jawab : a 


Soal No.4 


Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah 
a. 15 
b. 14 
c. 12 
d. 10 

Pembahasan

Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6

Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8

Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)

Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2

Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.

Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14

Jawab: b 


Soal No.5 


Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155

Pembahasan:

Suku Kedua :
⇒ U2 = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)

Suku Kelima :
⇒ U5 = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2

Jumlah 10 suku pertama:
⇒ Sn=n2 (a+Un)
⇒ S10=102 (a+U10)
⇒ S10= 5 (a + a + 9b)
⇒ S10= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S10= 155

Jawab: d 

Soal No.6


Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika adalah 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama adalah ...
a. 163 
b. 326 
c. 1975 
d. 3950 

Pembahasan

Rumus suku ke-n :
Un = a + (n - 1)b

Suku ke-4 :
⇒ U4 = 16 ⇒ a + 3b = 16 ......(Persamaan 1)

Suku ke-9 :
⇒ U9 = 51 ⇒ a + 8b = 51 ......(Persamaan 2)

Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :

a + 8b = 51
a + 3b = 16
___________ _
5b = 35
b = 7

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5

Jumlah 25 suku pertama:
⇒ Sn=n2 (a+Un)
⇒ S25 = 252 (a + U25)
⇒ S25 = 252 (a + a + 24b )
⇒ S25 = 252 (-5 - 5 + 24(7) )
⇒ S25 = 252 (-10 + 168 )
⇒ S25 = 252 158
S25 = 1975

Jawab : c


Soal No.7


Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan 114.Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah....
a. 36 dan 40 
b. 36 dan 38 
c. 38 dan 40 
d. 36 dan 42 

Pembahasan

Dari soal di atas, bilangan genap berurutan pasti akan memiliki nilai beda sama dengan 2.

Lalu dari bilangan genap berturut-turut, dapat kita misalkan U1, U2, U3

Dari soal diketahui tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, dapat kita maknai sebagai :
U1 + U2 + U3 = 114
Suku ke-1 adalah :
⇒ U1 = a + (1 - 1) 2
⇒ U1 = a

Suku ke-2:
⇒ U2 = a + (n - 1) b
⇒ U2 = a + (2 - 1) 2
⇒ U2 = a + 2

Suku ke-3:
⇒ U3 = a + (n - 1) b
⇒ U3 = a + (3 - 1) 2
⇒ U3 = a + 4

Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U1 + U2 + U3 = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 - 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36

Jadi suku ke-2 adalah :
⇒ U2 = a + 2
⇒ U2 = 36 + 2
⇒ U2 = 38

Jadi suku ke-3 adalah :
⇒ U2 = a + 4
⇒ U2 = 36 + 4
⇒ U2 = 40

Jadi nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan terbesar 40

Jawab : a



BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana selisih dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap. Selisih dua suku yang tetap disebut beda dari barisan aritmetika tersebut dan dilambangkan dengan b.
suatu barisan u_1, u_2, u_3, . . ., u_n disebut barisan aritmetika untuk sembarang nilai n jika u_2- u_1 = u_3- u_2 = . . . = u_(n- ) u_(n-1) = b , dengan b adalah suatu ketetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n.
contoh barisan aritmetika:
untuk barisan 1, 6, 11, 16, . . .
beda b = 16 – 11= 11 – 6 = 6 – 1 = 5
untuk barisan 8, 6, 4, 2, . . .
beda b = 8 – 6= 6 – 4 = 4 – 2 = -2

Rumus Umun Suku ke-n pada Barisan Aritmatika

Misalkan suatu barisan dengan suku pertama a dan beda b
u_1, u_2, u_3, u_4, . . . ,u_n
u_1=a
u_2=a+b
u_3=a+2b
u_4=a+3b
u_n=a+(n-1)b
Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan aritmetika di atas, maka rumus umum suku ke-n adalah
u_n=a+(n-1)b
dengan u_n = suku ke-n, n ∊ bilangan asli
a = suku pertama
b = beda

Sifat- Sifat Suku ke-n pada Barisan Aritmetika
Suku umum ke-n pada barisan aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut
Suku ke-n = u_n=a+(n-1)b merupakan fungsi linear dari n
(n ∊ bilangan asli).
bukti :
u_n=a+(n-1)b
u_n=bn+(a-b)
karena n berderajat satu, maka u_n merupaka fungsi linear dari n .

Untuk setiap n bilangan asli berlaku = u_(n- ) u_(n-1) = b (beda)
bukti :
u_n =a+(n-1)b = a+nb-b
u_(n-1)=a+{(n-1)├ -1}┤b = a+nb-2b

u_(n- ) u_(n-1) = b


Contoh Soal
Tentukan suku pertama, beda, serta suku ke enam dari barisan 3,2 1/2,2,1 1/2, . . .
Penyelesaian:
Suku pertama u_1= a = 3
beda b=2 1/2-3=-1/2
Suku ke-6 u_6 = a+5b
= 3+5(-1/2 )
= 1/2

Suku pertama suatu aritmetika sama dengan 2, sedangkan bedanya sama dengan 5. carilah suku ke-10 dan suku keberapa yang nilainya 82!
Penyelesaian:
a = 2, b = 5
u_n=a+(n-1)b
u_10=2+(10-1)5
= 2+9.5
= 2+45
= 47
Jadi suku ke-10 sama dengan 47

u_n=a+(n-1)b
82=2+(n-1)5
82=2+5n-5
5n=82-2+5
5n=85
n=17
Jadi suku yang nilainya 82 adalah suku ke-17


Suku Tengah pada Barisan Aritmetika

Untuk barisan-barisan dengan banyaknya suku adalah ganjil, maka dapat ditetapkan suku tengahnya. Suku tengah suatu barisan aritmetika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini
Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas 3 suku u_1, u_2, u_3, maka suku tengahnya adalah u_2
suku tengah u_2=a+b=1/2 (2a+2b)=1/2 {a+(a+2b)}=1/2(u_1+u_3)
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_2 =1/2(u_1+u_3)

Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas 5 suku u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 maka suku tengahnya adalah u_3
suku tengah u_3=a+2b=1/2 (2a+4b)=1/2 {a+(a+4b)}=1/2(u_1+u_5)
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_3 =1/2(u_1+u_5)

Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas 7 suku u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7 maka suku tengahnya adalah u_4
suku tengah u_4=a+3b=1/2 (2a+6b)=1/2 {a+(a+6b)}=1/2(u_1+u_7)
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_4 =1/2(u_1+u_7)

Misalnya barisan aritmetika yang terdiri atas (2k-1) suku u_1, u_2, . . . , u_k, . . . , u_(2k-1) maka suku tengahnya adalah u_k
suku tengah u_k=a+(k-1)b=1/2 (2a+2(k-1)b)=1/2 {a+(a+(2k-2)b)}=1/2(u_1+u_(2k-1))
Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_k = 1/2(u_1+u_(2k-1))

Berdasarkan deskripsi di atas, suku tengah dari suatu barisan aritmetika di tentukan melalui hubungan sebagai berikut

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k bilangan asli lebih dari dua. suku tengan barisan aritmetika itu adalah suku ke- k atau u_k dengan rumus suku tengah u_k ditentukan oleh hubungan
u_k= 1/2(u_1+u_(2k-1))


Contoh Soal
Diketahui suatu barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, . . . , 95. Banyaknya suku pada barisan itu adalah ganjil.
Carilah suku tengahnya
Suku keberapakah suku tengahnya
Berapakah banyak suku barisan itu
Penyelesaian:
Barisan 3, 5, 7, 9, . . . , 95
suku pertama a=u_1=3
beda b=2
suku terakhir u_(2k-1)=95
u_k= 1/2(u_1+u_(2k-1))
u_k= 1/2(3+95)
u_k= 49
Jadi suku tengahnya sama dengan 49

u_k=a+(k-1)b
49=3+(k-1)2
2k=48
k= 24
Jadi suku tengahnya adalah suku ke-24

Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k-1 = 2(24)-1=47

Sisipan pada Barisan Aritmetika

Di antara dua bilangan xdan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan yang disisipkan membentuk barian aritmetika. Nilai beda dari barisan aritmetika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

x merupakan suku pertama dan y merupakan suku terakhir
x . . . . . . . .y disisipkan sebanyak k buah bilangan
x k y
maka banyaknya suku bilangan k+2
u_n=a+(n-1)b
y=x+((k+2)-1)b
y=x+(k+1)b

b = (y-x)/(k+1)

Dengan xdan y ϵ himpunan bilangan real (x≠y) ke k ϵ himpunan bilangan asli.

Contoh Soal
Di antara bilanga 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk!
Jawab:
diketahui x=4
y=28
k=5

b = (y-x)/(k+1)

b = (28-4)/(5+1)=4
Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk adalah b=4

Rumus Jumlah n Suku Deret Aritmetika

Jumlah beruntun suku-suku suatu baris aritmetika disebut sebagai deret aritmetika. Jika u_1, u_2, u_3, . . ., u_n merupakan barisan aritmetika maka u_1+ u_2+ u_3+ . . .+ u_n merupakan deret aritmetika.
Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan s_n, maka
s_n = a + a+b + a+2b + . . . + u_n
s_n = u_n + u_(n-1) + u_(n-2) + . . . + a

s_n = a + a+b + a+2b + . . . + u_n
s_n = u_n + u_n-b + u_n-2b + . . . + a
+
2s_n = a+u_n + a+u_n + a+u_n + . . . + a+u_n
2s_n = n (a+u_n)
s_n = 1/2 n (a+u_n) karena u_n=a+(n-1)b
s_n = 1/2 n {a+a+(n-1)b}
s_n = 1/2 n {2a+(n-1)b}
sehingga rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
s_n = 1/2 n (a+u_n) atau s_n = 1/2 n {2a+(n-1)b}
s_n = jumlah n suku
u_n = suku ke-n, n ∊ bilangan asli
a = suku pertama
b = beda
Sifat-Sifat Deret Aritmetika

Jumlah n suku pertama deret aritmetika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

s_n = 1/2 n (a+u_n) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.
bukti:
s_n = 1/2 n (a+u_n)
s_n = 1/2 n {a+a+(n-1)b}
s_n = an+b/2 n^2-b/n n
s_n = b/2 n^2 + (a-b/n) n
hubungan di atas secara jelas menunjukkan bahwa s_n merupakan fungsi kuadrat dari n tanpa memuat suku tetapan.

untuk setiap n bilangan asli berlaku = s_(n- ) s_(n-1) = u_n(suku ke-n)
bukti:
s_n = u_1 + u_2 + u_3 + . . .+ u_(n-1 ) + u_n
s_(n-1) = u_1 + u_2 + u_3 + . . .+ u_(n-1 )
+
s_(n- ) s_(n-1) = u_n
Jadi terbukti bahwa = s_(n- ) s_(n-1) = u_n(suku ke-n)

Contoh Soal
Sebuah tali dibagi menjadi 10 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk deret aritmetika, apabila yang paling pendek panjangnya 5 cm dan yang paling panjang adalah 41 cm. Hitunglah beda panjang setiap bagian tali dan panjang tali semula!
Penyelesaian:
n = 10 a = 5
u_10 = 41
u_n=a+(n-1)b
41=5+(10-1)b
41=5+9b
9b=36
b=4
Beda panjang setiap bagian tali adalah 4 cm
s_n = 1/2 n (a+u_n)
s_10 = 1/2 10 (5+41)
= 5(46)
= 230

Panjang tali semula adalah 230 cm

Hitung banyak dan jumlah bilangan bulat antara 100 dan 1.000 yang habis dibagi 5!
Penyelesaian:
Bilangan bulat antara 100 dan 1.000 yang habis dibagi 5
105, 110, 115, . . . ,995
a = 105
b = 5
u_n = 995
u_n=a+(n-1)b
995=105+(n-1)5
199=21+(n-1)
n=199-20
n=179
Banyaknya bilangan adalah 179
s_n = 1/2 n (a+u_n)
s_179 = 1/2 .179 (105+995)
= 1/2.179(1.100)
= 98.450
Jadi, jumlah bilangan tersebut adalah 98.450

Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15, suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut adalah 285. suku pertama deret ini dalah . . . .

penyelesaian:
n = 15
u_n= 47
s_n= 285
s_n = 1/2 n (a+u_n)
285 = 1/2 15 (a+47)
285.2/15 = (a+47)
38=a+47
a=-9
Jadi suku pertama deret tersebut adalah -9.

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel